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今年も東京医科に4次方程式の解と係数の関係がでました。なかなか良い問題だったと思います。午前10時から発表で朝から早く目が覚めソワソワしてたまりません😵
z=1/xとおけばα, β, γ, δを4解にもつ4次方程式からzの4次方程式が作れ，これが逆数1/α, 1/β, 1/γ, 1/δを4解にもつ方程式実際x=1/zだから(1/z)⁴+11(1/z)³+31(1/z)²+11(1/z)+1=0 ∴ z⁴+11z³+31z²+11z+1=0 解と係数の関係から∑(1/α)=-11. (相反方程式であることは本質的ではない)
先生と同じ方法で解きましたが、コメント欄を見るとyを使うやり方が書いてありました。なるほどですね。
問題作成者側の考えた解答は以下のようだと思われます。x^4+11x^3+31x^2+11x+1=0 ・・・①ここで、y=x+1/xとすると①式は以下のようにyの2次式で表せる。y^2+11y+29=0・・・② (∵x≠0)また、②式の解をy=a,bとすると以下のように2つのxの2次式が成立する。x+1/x=a・・・③x+1/x=b・・・④①式の解はx=α,β,γ,δであるため、③式及び④式の解をそれぞれx=α,β,x=γ,δとできる。さらに、②式について解と係数の関係からa+b=-11,ab=29である。つまり、a,b≠±2であるのでα≠β,γ≠δと言える。よって、α≠β,γ≠δ,α+1/α=β+1/β,γ+1/γ=δ+1/δからα=1/β,γ=1/δと書ける。これらのことを用いると(1)1/α+1/β+1/γ+1/δ=1/α+α+1/γ+γ=a+b =-11(2)α^2+β^2+γ^2+δ^2=(α+1/α)^2+(γ+1/γ)^2-4=a^2+b^2-4 =(a+b)^2-2ab-4=(-11)^2-2×29-4 =59(3)α^3+β^3+γ^3+δ^3=(α+1/α)^3+(γ+1/γ)^3-3(α+1/α)-3(γ+1/γ)=a^3+b^3-3(a+b) =(a+b)((a+b)^2-3ab-3)=(-11)×((-11)^2-3×29-3) =-341
試験場でそのやり方で解きました！
@@ジョイ-r7d さん 凄い！
模範解答は分かりませんが，③で相反方程式を使いました。y^2 + 11y +29 = 0を解くとy = ( - 11 ± √5) / 2ここでx + 1/x = ( - 11 + √5) / 2すなわちx^2 + (11 - √5)x / 2 + 1 = 0 ①の2解をα，βx + 1/x = ( - 11 - √5) / 2 すなわちx^2 + (11 + √5)x / 2 + 1 = 0 ②の2解をγ，δと決めても一般性は失われないa[n] = α^n + β^nb[n] = γ^n + δ^nと置くと，①と②の解と係数の関係よりa[1] = α + β = ( - 11 + √5) / 2b[1] = γ + δ = ( - 11 - √5) / 2αβ = γδ = 1なのでa[2] = (α + β)^2 - 2αβ ={( - 11 + √5) / 2 }^2 - 2 = (59 - 11√5)/2 ③ b[2] = (γ + δ)^2 - 2γδ ={( - 11 - √5) / 2 }^2 - 2 = (59 + 11√5)/2 ④また，①，②より，a[n]とb[n]について，三項間漸化式を作るとa[n + 2] = {( - 11 + √5) / 2} * a[n + 1] - a[n] ⑤b[n + 2] = {( - 11 - √5) / 2} * b[n + 1] - b[n] ⑥⑤＋⑥よりa[n + 2] + b[n + 2] = (- 11 / 2) * {a[n + 1] + b[n + 1]} +(√5 / 2) * {a[n + 1] - b[n + 1]} - {a[n] + b[n]}n = 1の場合a[3] + b[3] = (- 11 / 2) * {a[2] + b[2]} +(√5 / 2) * {a[2] - b[2]} - {a[1] + b[1]} ⑦ここで，a[2] + b[2] = 59a[2] - b[2] = - 11√5（∵③ー④）a[1] + b[1] = -11なので ，⑦に代入してa[3] + b[3] = (- 11 / 2) * 59 +(√5 / 2) * ( - 11√5) - ( - 11) = 11 * ( - 59/2 - 5/2 + 1) = 11 * ( - 31) = - 341
出題者の意図が伝わってきます😃 さすがですね
@@coscos3060 さんありがとうございます😊
yがあるのは5項間漸化式を2つの3項間漸化式に分解するため.y^2+11y+29=0 の2つの解をp,qとすると, y=x+1/x から, α^2=pα-1, β^2=pβ-1 および γ^2=qγ-1, δ^2=qδ-1.あとは b(n)=α^n+β^n, c(n)=γ^n+δ^n と置くと, 動画で5項間漸化式を導出したのと同様の議論より, 2つの3項間漸化式 b(n+2)=pb(n+1)-b(n), c(n+2)=qc(n+1)+c(n) が得られる.このとき, b(0)=c(0)=2. また, 解と係数の関係より b(1)=α+β=p, c(1)=γ+δ=q.①b(-1)=pb(0)-b(1)=2p-p=pc(-1)=qc(0)-c(1)=2q-q=qよって, b(-1)+c(-1)=p+q=-11②b(2)=pb(1)-b(0)=p^2-2c(2)=qc(1)-c(0)=q^2-2よって, b(2)+c(2)=p^2+q^2-4=(p+q)^2-2pq-4=11^2-2*29-4=59③b(3)=pb(2)-b(1)=p(p^2-2)-p=p^3-3pc(3)=qc(2)-c(1)=q(q^2-2)-q=q^3-3qよって, b(3)+c(3)=p^3+q^3-3(p+q)=(p+q){(p+q)^2-3(pq+1)}=-11*{11^2-3*(29*1)}=-341
以外f=方程式の左辺、g=x^2 +11x +29とする。1番はαがfの根ならば1/αもfの根だから逆数の和はfの根の和に等しいので、-fの3次の係数が答え。2番はh=x+1/xとすると、h(α)^2 =α^2 +1/α^2 +2と1番の議論より平方の総和と逆数平方の総和が等しいことからΣh(α_i)^2 = 2Σα_i ^2 +4･2更に左辺はgの根の平方の総和の2倍に等しいから、Σ(α_i)^2=63-4=59となる。3番は2番と同様。これ学者は一瞬で解けるけど高校生には難しいやつですね。
遅くなりましたが、動画視聴ならびに答案のPDFアップを済ませました。note.com/pc3taro/n/n390b4790bd58相反方程式を使った求値問題かと思いましたが、あえて相反方程式から2次方程式を作成するところまでで寸止めし、4次方程式の解と係数の関係、最後の問題のみ隣接5項間漸化式を立てて解きました。相反方程式をそのまま解いて、yの2次方程式の2解を求めておき、その各々のyに対して、xの2次方程式を解き、最初のyを代入したxの2次方程式の解をα, β、2番目のyを代入したxの2次方程式の解をγ, δとして、α^n+β^n+γ^n+δ^n=(α^n+β^n)+(γ^n+δ^n) (n=-1, 2, 3) を右辺の第1項と第2項についてそれぞれ2次方程式の解と係数の関係と対称式の性質から求めるとしてもよかったのですが、回りくどそうだったので、PDFにある解法でやりました。PDFの解法ですが、偶然にも動画の解法と概ね方針が一致しており、ビックリいたしました。
動画の解法と方針が一致してされてたんですね n=－１なんて考えもつきませんよ😃
解けなかったときすげー悔しくなるんだけどこの問題は全然ならん。いい事知れてめっちゃ嬉しいコレは吸収したい
①は他にも解法があって、x^4+11x^3+31x^2+11x+1=0でx=α,β,γ,δが成り立つのだから、xが0でない事からxを1/tと置き換えると、(1/t)^4+11(1/t)^3+31(1/t)^2+11(1/t)+1=0両辺にt^4をかけて整理するとt^4+11t^3+31t^2+11t+1=0x=1/t=α,β,γ,δより、この4次方程式の解がt=1/α,1/β,1/γ,1/δとなる。よって、解と係数の関係から①=-11が成り立ちます。ここで興味深いのが最初のxの4次方程式とtの4次方程式が全く同じ形をしてる事で、これを利用すれば実は②でα^2+β^2+γ^2+δ^2=1/α^2 + 1/β^2 +1/γ^2 +1/δ^2 が成り立ってる事も示せます(③も同様に逆数にしても変わらない)。
5行目から6行目は何が起こった？
@@user-noname8055 書き加えておきました。相反方程式って何も考えずにx+1/x=yと置く人が多いですが、あれもxを1/xと入れ替えても1/x+1/(1/x)=x+1/xと入れ替える前と同じになります。すなわち相反方程式には「逆数にしても変わらない対称性」が隠れてるんですよね。
@@hyakunitizeki1 両辺にt^4を掛けたってことですねなるほど
あったまいー
n=-1として見るのすごいです。参考になりました。
③のやり方がエレガントすぎる。こんなの思いつく自信ないわ。覚えとこ。
逆数和について。よく考えたら,x^4で割って項の順を変えた1/xについての方程式は元の方程式と係数が同じですね。つまり、(a)x^4+11x^3+31x^2+11x+1=0 を満たす x が x=α,β,γ,δ なら、(b)(1/x)^4+11(1/x)^3+31(1/x)^2+11(1/x)+1=0を満たす1/xも1/x=α,β,γ,δ。(b)を満たすxはx=1/α,1/β,1/γ,1/δ。(b)は(a)と同値だから(b)を満たすxはx=α,β,γ,δでもある。∴1/α+1/β+1/γ+1/δ=α+β+γ+δ。1/α=αとは限らない。1/α=αという意味ではなく、1/αがα,β,γ,δのどれと等しいかは不明(他も同様)だが4つ足した物同士は等しいという意味。
①について、x⁴+11x³+31x²+11x+1=0...♪x⁴≠0で割ると、X=1/xとして、1+11X+31X²+11X³+X⁴=0この方程式は♪の解の逆数を全て解に持つ解と係数の関係より、♪の解の逆数和は-11方程式が与えられていて、その解の逆数を解に持つ方程式を作りたいとき、その解の逆数和を求めたいときに有効な方法です。解の変換なんて呼ばれたりもします。これを知ってれば、「x⁷+x+1=0の解の逆数の総和を求めよ」みたいな子供だましの問題を量産できます。
今日は少し早め？貫太郎先生とまったく同じ思考過程でした。当初、相反方程式がこの問題を解くヒントになっているのか？と思いつつ、どのうように相反方程式を使ったらよいか分からない。とりあえず、①と②を計算して、③を求める際、「あ、それで逆数の和などという珍しい（？）ものを求めさせたのか！」ということで、 x≠0 だから与えられた方程式を x で割って、ｘ³＝････の形にして求めました。本日も勉強になりました。ありがとうございました。
備忘録75VG"【 相反方程式 】〖たまさん参照〗x⁴＋11x³＋31x²＋11x＋1＝ 0 ･･･① ⇔ x⁻⁴＋11x⁻³＋31x⁻²＋11x⁻¹＋1＝ 0 ･･･② ①と②より、α が解ならば α⁻¹ も解であるから 四つの解は α, α⁻¹, β, β⁻¹ とおくことができる。
ご参照頂いておきながら誠に申し訳ないのですが、この方針だとおそらく議論が不十分であることに気付きました。（※例えば４解がα, α, α, 1/αである場合を排除していない。）さらに「x=±1は不適なこと」および「4解の積は1に等しいこと」に注目して修正することも可能ですが、議論が長くなるため、やや冒頭の議論を変更した修正解を当初のコメントに返信しておきました。宜しければご参考下さい。■
@@たま-z6n9k さん何れにしても、秀逸な解法を見せていただき 有難うございます🙏
相反方程式ではxが解なら1/xも解なので，a_(-n)=a_nという性質も使えるときがありそうですね。
Y^2+11y+29=0の解をa,bとするとa+b=-11ab=29x+1/x=a, x+1/x=bの解を{α、β}、{γ、δ}とするとαβ=1, α+β=a, γδ=1, γ+δ=b①②③は前半後半に分けて計算すれば多分簡単
4次方程式の解と係数の関係なんて知らないと思いましたが、動画を拝見してその意味を考えれば簡単な話だと分かりました。4項間漸化式も同様です。いかに自分が学生時代の暗記数学に依存し、全く考えていない事が分かりました。貫太郎さんのように考える数学を学べるよう引き続き動画で学ばせて頂きます。
5項間漸化式でしたね、失礼しました。
5解α…δは、ゼロでないことを示した上で、Xの4次式に5解α…δを代入し夫々をα…δで割る。（例えば、α^3+11α^2+31α+11+1/α =0）そこで出てきたα…δの式を辺々足し合わせると、③を①②を利用して求められますね。
不正入試で巷で話題になった大学か。
本番なら、変なことは考えずゴリ押しすべきではありますね。暗算でできるレベルだから、誘導に乗らずにぱぱっと計算して終わらせたい。
相反方程式であることに気づいて、そのあと計算地獄でワケわからんくなった。
昨日東医の合格をもらいました！試験日の次の日？に解説を3の解説を聞いて感動したのを覚えています！これから医学部生として一層勉強にはげみたいとおもいます！
おめでとうございます㊗️
Good question!!!
出題者がyの方程式を組ませた理由は、α^3+β^3とγ^3+δ^3を別々に求めるように誘導するためだと思います。(x+1/x)^2+11(x+1/x)+29=0 ⇔ x+1/x=(-11±√5)/2 ⇔ x^2-{(-11±√5)/2}x+1=0。＋側の解をα,β、－側をγ,δとするとα+β=(-11+√5)/2,αβ=1、γ+δ=(-11-√5)/2,γδ=1。α^3+β^3 = (α+β){(α+β)^2 - 3αβ} = (-11+√5)(114-22√5)/8 、γ^3+δ^3 = (γ+δ){(γ+δ)^2 - 3γδ} = (-11-√5)(114+22√5)/8 だから、α^3+β^3+γ^3+δ^3 = (-11*114*2-22*5*2)/8 = (-11*57-11*5)/2 = -11*62/2 = -341。
4行目から(αβ=1、γδ=1、α+β+γ+δ＝-11なので)α^3+β^3 = (α+β)^3 - 3(α+β)γ^3+δ^3 = (γ+δ)^3 - 3(γ+δ) 縦に足すと求める式＝(α+β)^3+(γ+δ)^3 -3（-11）＝(α+β+γ+δ)｛(α+β)^2+(γ+δ)^2-(α+β)(γ+δ)｝+33＝（-11）（126×2/4-116/4）+33＝（-11）（63-29）+33＝（-11）（63-29-3）＝-341ってな感じに変形すれば厄介なルートの計算が楽そうに思いました。おそらく出題者はこのような回答を予測していたのではないでしょうか？
楽しく拝見しました。いつもありがとうございます。「低く評価」がつく理由がわからない...。
δは未だに書くのに慣れません。上のアホ毛から書いてるのですが、下から書くのが正しいのですかね？他の方も書いていますが、y²+11y+29=0の2解をu,vとすると、α+1/α=β+1/β=u、γ+1/γ=δ+1/δ=vとできるので、(①逆数和)=2(u+v)-(α+β+γ+δ)=-11α²+1=uα、β²+1=uβ、α+β=u、γ²+1=vγ、δ²+1=vδ、γ+δ=vから全部使って(②平方和)=u(α+β)+v(γ+δ)-4=u²+v²-4=(u+v)²-2uv-4=59ですね。4次の解と係数(基本対称式)考えるより、相反方程式を先に考え始めちゃったので、その後の手慣れてる計算だけで解ける上のやり方で進めました。慣れがあるので、速さは大差ないかと。とはいえ、基本対称式も展開せずとも4次(文字4種)→3次(3種)→2次(〃)→1次(〃)と下っていき、それぞれの全通りの組み合わせと符号にだけ気を付ければ機械的な作業で出せます。
δは下から上へ書くのが普通かと…材料力学によく出てきます。
勿体ないので y の方程式を活用する方法を考えました。※①のみ(x＋1/x)＝y として y²＋11y＋29=0 なので y の二つの解の和は -11(α＋1/α)＋(β＋1/β)＋(γ＋1/γ)＋(δ＋1/δ)＝(α＋β＋γ＋δ)＋(1/α＋1/β＋1/γ＋1/δ)＝(-11)×2＝-22解と係数の関係より α＋β＋γ＋δ＝-11 だから1/α＋1/β＋1/γ＋1/δ＝-11ただし、計算が楽になっているとは思えませんね
nが負の数まで考慮されている数列を見て感動しました……。普段は初項をa1としてるから見慣れない感じで新鮮でした！！
貫太郎さんの "教室" でも、"a_0" は使っていますけれどもね。
n=－１の発想はさすがに…自分には絶対思いつきませんよ🤣
初項が第1項でないと気持ち悪いのであれば、a_n=α^{n-2}+β^{n-2}+γ^{n-2}+δ^{n-2}=α^{-2} α^n+β^{-2} β^n+γ^{-2} γ^n+δ^{-2} δ^n とすれば問題ないですね。
相反方程式は奥が深いですね。勉強になりました。(3)は a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c){ a^2+b^2+c^2 - (ab+bc+ca) } が4変数でも成立するだろうと推測の元で、a^3 + b^3 + c^3 + d^3 - 3(abc+abd+acd+bcd) = (a+b+c+d){ a^2+b^2+c^2+d^2 - (ab+bc+cd+da+ac+bd) } から算出しました。ただ、試験時間内で(右辺)を計算するのはちょっと割に合わないですね。。
スマートな解き方ですね 結構時間をかけた自分はまだまだだと思いました
（3）は両辺ｘで割ってから、次数下げで(1)(2)の結果と解と係数の関係を使いました。
頭良い高次の和は次数下げが典型だけど、xで割るっていう発想に至らない。どうしても対称式は1次からっていう変なイメージが崩れない
wolframalphaにぶち込んで解を求めたら、α=(-11-√5-√(22(5+√5)))/4β=(-11+√5-√(22(5-√5)))/4γ=(-11+√5+√(22(5-√5)))/4δ=(-11-√5+√(22(5+√5)))/4となりました。人力でここまでは無理ですね。
自分は最後分からなくてヤケクソで解の公式2回使ってその値出しました、、、、(笑)
①はx=0が解でないことを断った上で両辺をx⁴で割っても良さそうですね。
x+1/x=yのyの解各々に対してx2つ解あるからその式に解と係数の関係使うこともできたけど直接の方が早い
-1乗見るのおもろ
実践力が試されるなぁ
分かりやすかったです！
(3)は次数下げや漸化式を意識して4乗の和が分かれば3乗の和は分かるよなーと思いしばらく考えて、(1)を-1乗と見たときに元の方程式をxで割るやり方が見えました
5項間漸化式は思いつかなかったです笑解と係数との関係の求め方は復習になりました！
おはようございます。凄いエレガント！ 前半は貫太郎さんが以前紹介された慶応医学部の問題とそっくりですね😃
4次方程式が相反方程式でもなく、フェラーリの解法でないと解けないようなタイプでしたら、動画や私のPDFのような4次方程式の解と係数の関係（次数が高ければ、隣接5項間漸化式の活用も。）必須になりますね。
@@PC三太郎 様 助言ありがとうございます😃
なるほどぉ！
わー鮮やか。
かっけぇ
今日私立大学入試2日目です。頑張ってきます！
頑張ってください。
ご武運を！
健闘を祈ります👍
これ、力づくで解こうとしたら詰む奴ですなぁｗただ、これを一回解いて、α～γまで出しても正解にはたどり着けるっちゃあ辿り着けるのだろう…が。しかし、それじゃあ手間暇かかって時間切れになるから、もっとエレガントに行きましょうと。まさか漸化式と予想出来た受験生は殆どいなかったんじゃあなかろうか？
平方数を平方根と思い違いてしまいどうしようも無くなってましたおはようございます
(1)は与式をx⁴で割った「1/xの四次方程式」を考えれば「3次の項の係数」は11となり,さらに解は1/α,1/β,1/γ,1/δであることがわかるので解と係数との関係より全部足して-11として解いてみました！
おはようございます。①はα＋1／α＋β＋1／β＋γ＋1／γ＋δ＋1／δ＝α＋β＋γ＋δ＋1／α＋1／β＋1／γ＋1／δ ＝ー11＋1／α＋1／β＋1／γ＋1／δとして、計算が楽になりました。明日もよろしくお願いします。
おはようございます。漸化式は、（逐次的に処理する）ノイマン型コンピュータと相性がよさそうですね。むしろ、複数の処理を一度にしてしまう量子型とはどうなのかしら？コンセプトが合わないような気がしますが、…。
まあ、4解がα,1/α,β,1/βの形になるから、出題者の意図にのっても悪かない。
これ本番で最後一応誘導に乗ってやったけどルート残って出来なかった、後でやった綺麗に出たけど…こりゃ落ちたな
さすがに五項間漸化式は、思いつかなかったなぁ。基本的には五項間漸化式と同じ考え方ですが、toru toruさんの別解が、すっきりしていて、個人的にはお気に入りです。皆さん独自の方法があり、勉強になります。y=x+1/xと置く誘導がむしろ邪魔で、無意味にさえ思えます。出題者さん、ゴメンナサイ。
動画でも y=x+1/x は利用してないですね
おはようございます。寒さにも負けず、頭も鍛えます。ありがとうございます。
もう東医の受験か、すげえなこれ
nの部分、マイナスもいいのか。勉強になりました。
************************************※当初は直観的に下記のように考えたのですが、振り返ってみると特に冒頭段落の議論が不十分であるように思われます。（例えば４解がα, α, α, 1/αである可能性を排除していない。）この方針のままで加筆修正すると、当初の想定よりも議論がかなり長ったらしくなりそうなので、第１、第２段落辺りをまとめた＜修正解＞を、返信欄に別途コメントしておきました。以上を念頭において、下記＜別解＞をご覧下さい。************************************＜別解＞：明らかにx=0, ±1は解ではないことに注意して、 x^4 + 11x^3 + 31x^2 + 11x + 1 =0 …★ ⇔ (1/x)^4+ 11(1/x)^3 + 31(1/x)^2 + 11(1/x) + 1 =0 （※両辺をx^4≠0で割り、項順を逆にした）であるから、x=t が与方程式を満たせば x=1/t も与方程式を満たして t≠1/t が従う。よって４解は α, 1/α, β, 1/βと置ける。またx≠0により ★⇔ x^2 + 11x + 31 + 11/x + 1/x^2 =0 ⇔ (x + 1/x)^2 + 11(x + 1/x) + 29 =0であるから、α + 1/α, β + 1/β は y^2+11y+29=0の２解。よって解と係数の関係により α + 1/α + β + 1/β = -11 …①■かつ (α + 1/α)(β + 1/β)=29。ゆえに、 α^2 + (1/α)^2 + β^2 + (1/β)^2 =(α + 1/α)^2 + (β + 1/β)^2 - 4 =(α + 1/α + β + 1/β)^2 - 2(α + 1/α)(β + 1/β) - 4 =121-58-4 = 59 …②。■また、 α^3 + (1/α)^3 + β^3 + (1/β)^3 =(α + 1/α)^3 + (β + 1/β)^3 - 3(α + 1/α) - 3(β + 1/β) =(α + 1/α + β + 1/β)^3 - 3(α + 1/α)(β + 1/β)(α + 1/α + β + 1/β) - 3(α + 1/α + β + 1/β) = -11^3 + 3*11*29 + 3*11 = -11(121-87-3)= -11*31 = -341 …③。■
かっこいい！
＜修正解＞：明らかにx=0は解ではないことに注意して、 x^4 + 11x^3 + 31x^2 + 11x + 1 =0 …★ ⇔ x^2 + 11x + 31 + 11/x + 1/x^2 =0 ⇔ (x + 1/x)^2 + 11(x + 1/x) + 29 =0。ゆえに、y^2+11y+29=0の２解をλ, μと置くとき、★の４解のうち２解は x + 1/x = λ ⇔ x^2 - λx + 1 =0 … (1)の２解であり、★の残りの２解は x + 1/x = μ ⇔ x^2 - μx + 1 =0 ...(2)の２解。（※判別式より明らかにλ≠μだが、仮にλ=μであったとしても何ら問題はない。）ここで２次方程式(1)について、xを1/xで置き換えても不変（それぞれ同値式の左辺より明らか）だから、 「x=αが解ならば、x=1/αも解」である。ところが、明らかにx=±1は★の解ではないから(1)の解でもなく、上記の αについてさらに α≠1/α が従う。ゆえに(1)の２解をα, 1/α と置ける。全く同様の議論が(2)についても成り立つから、結局★の４解は α, 1/α, β, 1/β （※仮にα=βであったとしても何ら問題はない）と置けて、α + 1/α, β + 1/β は y^2+11y+29=0の２解。よって解と係数の関係により α + 1/α + β + 1/β = -11 …①■かつ (α + 1/α)(β + 1/β)=29。ゆえに、 α^2 + (1/α)^2 + β^2 + (1/β)^2 =(α + 1/α)^2 + (β + 1/β)^2 - 4 =(α + 1/α + β + 1/β)^2 - 2(α + 1/α)(β + 1/β) - 4 =121-58-4 = 59 …②。■また、 α^3 + (1/α)^3 + β^3 + (1/β)^3 =(α + 1/α)^3 + (β + 1/β)^3 - 3(α + 1/α) - 3(β + 1/β) =(α + 1/α + β + 1/β)^3 - 3(α + 1/α)(β + 1/β)(α + 1/α + β + 1/β) - 3(α + 1/α + β + 1/β) = -11^3 + 3*11*29 + 3*11 = -11(121-87-3)= -11*31 = -341 …③。■
いや、なるほど
(x＾2+ax+b)(x＾2+cx+d)とおいて進めました。ただ整数とは限らないので厳密性にかけますけれど値を出すことはできました。マイナスの方も考えていいのですね、勉強になりました。
意地でも正面突破(因数分解)を試みました。なお
出題者の意図としては、yの二次方程式の解と係数の関係を使って欲しかったのでは？そうすればα、βとγ、δの２組に分けて計算できるので、少なくとも３番はそうやった方が楽そうです。y^2 + 11y + 29 = 0 の２解を y1, y2 とすれば、与方程式は (x^2 - y1x + 1) ( x^2 - y2x + 1) = 0 となってα+β = y1, αβ = 1, γ+δ = y2, γδ = 1 として問題なく、２組それぞれをy1 とy2 の式で表してからさらに y1 + y2 = -11 を使って計算します。y^2 = -29 - 11y で次数下げもできるので、比較的簡単に出せます。（計算自体はめんどくさいです）でも別解を考えるのも大事ですね。
後光がさす漸化式！？
私立医学部受けるんで嬉しいです。ありがとうございます
漸化式-1乗かー
立方はちょっと面倒ですが、解と係数の関係でいけるような。多分違う方法なのだろうな。動画で確認します。
立方は漸化式か。その発想はなかった。
問題はどこから入手しているのでしょうか？
これ本番では解と係数で瞬殺したけど色々考え方あるんだね
おはようございます。
立方和=(w + x + y + z)³- 3(w x + w y + w z + x y + x z + y z) (w + x + y + z) + 3 (w x y + w x z + w y z + x y z)はやりたくないですね。
x³+y³=(x + y)³-3 x y (x + y)から憶測し、斉次式になるには、あとk(xyz+yzw+...)の項が必要で係数比較からk=3と考えるか...
これちょっと時間かけすぎちゃったなあ
この問題解けなかった
一次落ち泣
ヨシッ❗だけど、おぉ～❗バカだから、愚直に与式を(x^2－(－11+√5)x/2+1)･(x^2－(－11－√5)x/2+1)＝0と変形し、α+β＝(－11+√5)/2，αβ＝1γ+δ＝(－11－√5)/2，γδ＝1として計算しちゃったよ。
最初の因数分解が上手い！
昨日コレ見て、ruclips.net/video/0awiaXuTlJI/видео.html今日のコレだったので、貫太郎氏も他チューバ―の動向を見て類題を探しているのかと思った。そうでもなかったみたいだけれど。
実は時間を浪費させるための出題者の罠⁉︎w
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今年も東京医科に4次方程式の解と係数の関係がでました。なかなか良い問題だったと思います。午前10時から発表で朝から早く目が覚めソワソワしてたまりません😵
z=1/xとおけばα, β, γ, δを4解にもつ4次方程式からzの4次方程式が作れ，これが逆数1/α, 1/β, 1/γ, 1/δを
4解にもつ方程式
実際x=1/zだから(1/z)⁴+11(1/z)³+31(1/z)²+11(1/z)+1=0 ∴ z⁴+11z³+31z²+11z+1=0
解と係数の関係から∑(1/α)=-11. (相反方程式であることは本質的ではない)
先生と同じ方法で解きましたが、コメント欄を見るとyを使うやり方が書いてありました。なるほどですね。
問題作成者側の考えた解答は以下のようだと思われます。
x^4+11x^3+31x^2+11x+1=0 ・・・①
ここで、y=x+1/xとすると①式は以下のようにyの2次式で表せる。
y^2+11y+29=0・・・② (∵x≠0)
また、②式の解をy=a,bとすると以下のように2つのxの2次式が成立する。
x+1/x=a・・・③
x+1/x=b・・・④
①式の解はx=α,β,γ,δであるため、③式及び④式の解をそれぞれx=α,β,x=γ,δとできる。
さらに、②式について解と係数の関係からa+b=-11,ab=29である。
つまり、a,b≠±2であるのでα≠β,γ≠δと言える。
よって、α≠β,γ≠δ,α+1/α=β+1/β,γ+1/γ=δ+1/δからα=1/β,γ=1/δと書ける。
これらのことを用いると
(1)1/α+1/β+1/γ+1/δ=1/α+α+1/γ+γ=a+b
=-11
(2)α^2+β^2+γ^2+δ^2=(α+1/α)^2+(γ+1/γ)^2-4=a^2+b^2-4
=(a+b)^2-2ab-4=(-11)^2-2×29-4
=59
(3)α^3+β^3+γ^3+δ^3=(α+1/α)^3+(γ+1/γ)^3-3(α+1/α)-3(γ+1/γ)=a^3+b^3-3(a+b)
=(a+b)((a+b)^2-3ab-3)=(-11)×((-11)^2-3×29-3)
=-341
試験場でそのやり方で解きました！
@@ジョイ-r7d さん 凄い！
模範解答は分かりませんが，③で相反方程式を使いました。
y^2 + 11y +29 = 0
を解くと
y = ( - 11 ± √5) / 2
ここで
x + 1/x = ( - 11 + √5) / 2
すなわち
x^2 + (11 - √5)x / 2 + 1 = 0 ①
の2解をα，β
x + 1/x = ( - 11 - √5) / 2
すなわち
x^2 + (11 + √5)x / 2 + 1 = 0 ②
の2解をγ，δ
と決めても一般性は失われない
a[n] = α^n + β^n
b[n] = γ^n + δ^n
と置くと，①と②の解と係数の関係より
a[1] = α + β = ( - 11 + √5) / 2
b[1] = γ + δ = ( - 11 - √5) / 2
αβ = γδ = 1
なので
a[2] = (α + β)^2 - 2αβ ={( - 11 + √5) / 2 }^2 - 2 = (59 - 11√5)/2 ③
b[2] = (γ + δ)^2 - 2γδ ={( - 11 - √5) / 2
}^2 - 2 = (59 + 11√5)/2 ④
また，①，②より，a[n]とb[n]について，三項間漸化式を作ると
a[n + 2] = {( - 11 + √5) / 2} * a[n + 1] - a[n] ⑤
b[n + 2] = {( - 11 - √5) / 2} * b[n + 1] - b[n] ⑥
⑤＋⑥より
a[n + 2] + b[n + 2] = (- 11 / 2) * {a[n + 1] + b[n + 1]} +(√5 / 2) * {a[n + 1] - b[n + 1]} - {a[n] + b[n]}
n = 1の場合
a[3] + b[3] = (- 11 / 2) * {a[2] + b[2]} +(√5 / 2) * {a[2] - b[2]} - {a[1] + b[1]} ⑦
ここで，
a[2] + b[2] = 59
a[2] - b[2] = - 11√5（∵③ー④）
a[1] + b[1] = -11
なので ，⑦に代入して
a[3] + b[3] = (- 11 / 2) * 59 +(√5 / 2) * ( - 11√5) - ( - 11) = 11 * ( - 59/2 - 5/2 + 1) = 11 * ( - 31) = - 341
出題者の意図が伝わってきます😃 さすがですね
@@coscos3060 さん
ありがとうございます😊
yがあるのは5項間漸化式を2つの3項間漸化式に分解するため.
y^2+11y+29=0 の2つの解をp,qとすると, y=x+1/x から, α^2=pα-1, β^2=pβ-1 および γ^2=qγ-1, δ^2=qδ-1.
あとは b(n)=α^n+β^n, c(n)=γ^n+δ^n と置くと, 動画で5項間漸化式を導出したのと同様の議論より, 2つの3項間漸化式 b(n+2)=pb(n+1)-b(n), c(n+2)=qc(n+1)+c(n) が得られる.
このとき, b(0)=c(0)=2. また, 解と係数の関係より b(1)=α+β=p, c(1)=γ+δ=q.
①
b(-1)=pb(0)-b(1)=2p-p=p
c(-1)=qc(0)-c(1)=2q-q=q
よって, b(-1)+c(-1)=p+q=-11
②
b(2)=pb(1)-b(0)=p^2-2
c(2)=qc(1)-c(0)=q^2-2
よって, b(2)+c(2)=p^2+q^2-4=(p+q)^2-2pq-4=11^2-2*29-4=59
③
b(3)=pb(2)-b(1)=p(p^2-2)-p=p^3-3p
c(3)=qc(2)-c(1)=q(q^2-2)-q=q^3-3q
よって, b(3)+c(3)=p^3+q^3-3(p+q)=(p+q){(p+q)^2-3(pq+1)}=-11*{11^2-3*(29*1)}=-341
以外f=方程式の左辺、g=x^2 +11x +29とする。
1番はαがfの根ならば1/αもfの根だから逆数の和はfの根の和に等しいので、-fの3次の係数が答え。
2番はh=x+1/xとすると、
h(α)^2 =α^2 +1/α^2 +2
と1番の議論より
平方の総和と逆数平方の総和が等しい
ことから
Σh(α_i)^2 = 2Σα_i ^2 +4･2
更に左辺はgの根の平方の総和の2倍に等しいから、
Σ(α_i)^2=63-4=59となる。
3番は2番と同様。
これ学者は一瞬で解けるけど高校生には難しいやつですね。
遅くなりましたが、動画視聴ならびに答案のPDFアップを済ませました。
note.com/pc3taro/n/n390b4790bd58
相反方程式を使った求値問題かと思いましたが、あえて相反方程式から2次方程式を作成するところまでで寸止めし、4次方程式の解と係数の関係、最後の問題のみ隣接5項間漸化式を立てて解きました。
相反方程式をそのまま解いて、yの2次方程式の2解を求めておき、その各々のyに対して、xの2次方程式を解き、最初のyを代入したxの2次方程式の解をα, β、2番目のyを代入したxの2次方程式の解をγ, δとして、α^n+β^n+γ^n+δ^n=(α^n+β^n)+(γ^n+δ^n) (n=-1, 2, 3) を右辺の第1項と第2項についてそれぞれ2次方程式の解と係数の関係と対称式の性質から求めるとしてもよかったのですが、回りくどそうだったので、PDFにある解法でやりました。PDFの解法ですが、偶然にも動画の解法と概ね方針が一致しており、ビックリいたしました。
動画の解法と方針が一致してされてたんですね n=－１なんて考えもつきませんよ😃
解けなかったときすげー悔しくなるんだけどこの問題は全然ならん。いい事知れてめっちゃ嬉しいコレは吸収したい
①は他にも解法があって、
x^4+11x^3+31x^2+11x+1=0でx=α,β,γ,δが成り立つのだから、
xが0でない事からxを1/tと置き換えると、
(1/t)^4+11(1/t)^3+31(1/t)^2+11(1/t)+1=0
両辺にt^4をかけて整理すると
t^4+11t^3+31t^2+11t+1=0
x=1/t=α,β,γ,δより、
この4次方程式の解がt=1/α,1/β,1/γ,1/δとなる。
よって、解と係数の関係から①=-11が成り立ちます。
ここで興味深いのが最初のxの4次方程式とtの4次方程式が全く同じ形をしてる事で、
これを利用すれば実は②でα^2+β^2+γ^2+δ^2=1/α^2 + 1/β^2 +1/γ^2 +1/δ^2 が成り立ってる事も示せます(③も同様に逆数にしても変わらない)。
5行目から6行目は何が起こった？
@@user-noname8055 書き加えておきました。
相反方程式って何も考えずにx+1/x=yと置く人が多いですが、
あれもxを1/xと入れ替えても1/x+1/(1/x)=x+1/xと入れ替える前と同じになります。
すなわち相反方程式には「逆数にしても変わらない対称性」が隠れてるんですよね。
@@hyakunitizeki1 両辺にt^4を掛けたってことですねなるほど
あったまいー
n=-1として見るのすごいです。参考になりました。
③のやり方がエレガントすぎる。こんなの思いつく自信ないわ。覚えとこ。
逆数和について。よく考えたら,x^4で割って項の順を変えた1/xについての方程式は元の方程式と係数が同じですね。
つまり、(a)x^4+11x^3+31x^2+11x+1=0 を満たす x が x=α,β,γ,δ なら、
(b)(1/x)^4+11(1/x)^3+31(1/x)^2+11(1/x)+1=0を満たす1/xも1/x=α,β,γ,δ。(b)を満たすxはx=1/α,1/β,1/γ,1/δ。
(b)は(a)と同値だから(b)を満たすxはx=α,β,γ,δでもある。∴1/α+1/β+1/γ+1/δ=α+β+γ+δ。1/α=αとは限らない。
1/α=αという意味ではなく、1/αがα,β,γ,δのどれと等しいかは不明(他も同様)だが4つ足した物同士は等しいという意味。
①について、
x⁴+11x³+31x²+11x+1=0...♪
x⁴≠0で割ると、X=1/xとして、
1+11X+31X²+11X³+X⁴=0
この方程式は♪の解の逆数を全て解に持つ
解と係数の関係より、♪の解の逆数和は-11
方程式が与えられていて、その解の逆数を解に持つ方程式を作りたいとき、その解の逆数和を求めたいときに有効な方法です。解の変換なんて呼ばれたりもします。
これを知ってれば、
「x⁷+x+1=0の解の逆数の総和を求めよ」
みたいな子供だましの問題を量産できます。
今日は少し早め？
貫太郎先生とまったく同じ思考過程でした。当初、相反方程式がこの問題を解くヒントになっているのか？と思いつつ、どのうように相反方程式を使ったらよいか分からない。
とりあえず、①と②を計算して、③を求める際、「あ、それで逆数の和などという珍しい（？）ものを求めさせたのか！」ということで、 x≠0 だから与えられた方程式を x で割って、ｘ³＝････
の形にして求めました。
本日も勉強になりました。ありがとうございました。
備忘録75VG"【 相反方程式 】〖たまさん参照〗
x⁴＋11x³＋31x²＋11x＋1＝ 0 ･･･① ⇔ x⁻⁴＋11x⁻³＋31x⁻²＋11x⁻¹＋1＝ 0 ･･･②
①と②より、α が解ならば α⁻¹ も解であるから 四つの解は α, α⁻¹, β, β⁻¹ とおくことができる。
ご参照頂いておきながら誠に申し訳ないのですが、この方針だとおそらく議論が不十分であることに気付きました。
（※例えば４解がα, α, α, 1/αである場合を排除していない。）
さらに「x=±1は不適なこと」および「4解の積は1に等しいこと」に注目して修正することも可能ですが、議論が長くなるため、やや冒頭の議論を変更した修正解を当初のコメントに返信しておきました。
宜しければご参考下さい。■
@@たま-z6n9k さん
何れにしても、秀逸な解法を見せていただき 有難うございます🙏
相反方程式ではxが解なら1/xも解なので，a_(-n)=a_nという性質も使えるときがありそうですね。
Y^2+11y+29=0の解をa,bとすると
a+b=-11
ab=29
x+1/x=a, x+1/x=bの解を{α、β}、{γ、δ}とすると
αβ=1, α+β=a, γδ=1, γ+δ=b
①②③は前半後半に分けて計算すれば多分簡単
4次方程式の解と係数の関係なんて知らないと思いましたが、動画を拝見してその意味を考えれば簡単な話だと分かりました。4項間漸化式も同様です。
いかに自分が学生時代の暗記数学に依存し、全く考えていない事が分かりました。貫太郎さんのように考える数学を学べるよう引き続き動画で学ばせて頂きます。
5項間漸化式でしたね、失礼しました。
5解α…δは、ゼロでないことを示した上で、Xの4次式に5解α…δを代入し夫々をα…δで割る。
（例えば、α^3+11α^2+31α+11+1/α =0）
そこで出てきたα…δの式を辺々足し合わせると、③を①②を利用して求められますね。
不正入試で巷で話題になった大学か。
本番なら、変なことは考えずゴリ押しすべきではありますね。
暗算でできるレベルだから、誘導に乗らずにぱぱっと計算して終わらせたい。
相反方程式であることに気づいて、そのあと計算地獄でワケわからんくなった。
昨日東医の合格をもらいました！
試験日の次の日？に解説を3の解説を聞いて感動したのを覚えています！
これから医学部生として一層勉強にはげみたいとおもいます！
おめでとうございます㊗️
Good question!!!
出題者がyの方程式を組ませた理由は、α^3+β^3とγ^3+δ^3を別々に求めるように誘導するためだと思います。
(x+1/x)^2+11(x+1/x)+29=0 ⇔ x+1/x=(-11±√5)/2 ⇔ x^2-{(-11±√5)/2}x+1=0。＋側の解をα,β、－側をγ,δとすると
α+β=(-11+√5)/2,αβ=1、γ+δ=(-11-√5)/2,γδ=1。
α^3+β^3 = (α+β){(α+β)^2 - 3αβ} = (-11+√5)(114-22√5)/8 、
γ^3+δ^3 = (γ+δ){(γ+δ)^2 - 3γδ} = (-11-√5)(114+22√5)/8 だから、
α^3+β^3+γ^3+δ^3 = (-11*114*2-22*5*2)/8 = (-11*57-11*5)/2 = -11*62/2 = -341。
4行目から(αβ=1、γδ=1、α+β+γ+δ＝-11なので)
α^3+β^3 = (α+β)^3 - 3(α+β)
γ^3+δ^3 = (γ+δ)^3 - 3(γ+δ)
縦に足すと求める式＝(α+β)^3+(γ+δ)^3 -3（-11）
＝(α+β+γ+δ)｛(α+β)^2+(γ+δ)^2-(α+β)(γ+δ)｝+33
＝（-11）（126×2/4-116/4）+33
＝（-11）（63-29）+33
＝（-11）（63-29-3）
＝-341
ってな感じに変形すれば厄介なルートの計算が楽そうに思いました。
おそらく出題者はこのような回答を予測していたのではないでしょうか？
楽しく拝見しました。いつもありがとうございます。
「低く評価」がつく理由がわからない...。
δは未だに書くのに慣れません。上のアホ毛から書いてるのですが、下から書くのが正しいのですかね？
他の方も書いていますが、y²+11y+29=0の2解をu,vとすると、α+1/α=β+1/β=u、γ+1/γ=δ+1/δ=vとできるので、(①逆数和)=2(u+v)-(α+β+γ+δ)=-11
α²+1=uα、β²+1=uβ、α+β=u、γ²+1=vγ、δ²+1=vδ、γ+δ=vから全部使って(②平方和)=u(α+β)+v(γ+δ)-4=u²+v²-4=(u+v)²-2uv-4=59ですね。
4次の解と係数(基本対称式)考えるより、相反方程式を先に考え始めちゃったので、その後の手慣れてる計算だけで解ける上のやり方で進めました。慣れがあるので、速さは大差ないかと。
とはいえ、基本対称式も展開せずとも4次(文字4種)→3次(3種)→2次(〃)→1次(〃)と下っていき、それぞれの全通りの組み合わせと符号にだけ気を付ければ機械的な作業で出せます。
δは下から上へ書くのが普通かと…材料力学によく出てきます。
勿体ないので y の方程式を活用する方法を考えました。※①のみ
(x＋1/x)＝y として y²＋11y＋29=0 なので y の二つの解の和は -11
(α＋1/α)＋(β＋1/β)＋(γ＋1/γ)＋(δ＋1/δ)
＝(α＋β＋γ＋δ)＋(1/α＋1/β＋1/γ＋1/δ)
＝(-11)×2＝-22
解と係数の関係より α＋β＋γ＋δ＝-11 だから
1/α＋1/β＋1/γ＋1/δ＝-11
ただし、計算が楽になっているとは思えませんね
nが負の数まで考慮されている数列を見て感動しました……。普段は初項をa1としてるから見慣れない感じで新鮮でした！！
貫太郎さんの "教室" でも、"a_0" は使っていますけれどもね。
n=－１の発想はさすがに…自分には絶対思いつきませんよ🤣
初項が第1項でないと気持ち悪いのであれば、a_n=α^{n-2}+β^{n-2}+γ^{n-2}+δ^{n-2}=α^{-2} α^n+β^{-2} β^n+γ^{-2} γ^n+δ^{-2} δ^n とすれば問題ないですね。
相反方程式は奥が深いですね。勉強になりました。
(3)は a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c){ a^2+b^2+c^2 - (ab+bc+ca) } が4変数でも成立するだろうと推測の元で、
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 - 3(abc+abd+acd+bcd) = (a+b+c+d){ a^2+b^2+c^2+d^2 - (ab+bc+cd+da+ac+bd) } から算出しました。
ただ、試験時間内で(右辺)を計算するのはちょっと割に合わないですね。。
スマートな解き方ですね 結構時間をかけた自分はまだまだだと思いました
（3）は両辺ｘで割ってから、次数下げで(1)(2)の結果と解と係数の関係を使いました。
頭良い
高次の和は次数下げが典型だけど、xで割るっていう発想に至らない。
どうしても対称式は1次からっていう変なイメージが崩れない
wolframalphaにぶち込んで解を求めたら、
α=(-11-√5-√(22(5+√5)))/4
β=(-11+√5-√(22(5-√5)))/4
γ=(-11+√5+√(22(5-√5)))/4
δ=(-11-√5+√(22(5+√5)))/4
となりました。人力でここまでは無理ですね。
自分は最後分からなくてヤケクソで解の公式2回使ってその値出しました、、、、(笑)
①はx=0が解でないことを断った上で両辺をx⁴で割っても良さそうですね。
x+1/x=yのyの解各々に対してx2つ解あるからその式に解と係数の関係使うこともできたけど直接の方が早い
-1乗見るのおもろ
実践力が試されるなぁ
分かりやすかったです！
(3)は次数下げや漸化式を意識して4乗の和が分かれば3乗の和は分かるよなーと思いしばらく考えて、
(1)を-1乗と見たときに元の方程式をxで割るやり方が見えました
5項間漸化式は思いつかなかったです笑
解と係数との関係の求め方は復習になりました！
おはようございます。凄いエレガント！ 前半は貫太郎さんが以前紹介された
慶応医学部の問題とそっくりですね😃
4次方程式が相反方程式でもなく、フェラーリの解法でないと解けないようなタイプでしたら、動画や私のPDFのような4次方程式の解と係数の関係（次数が高ければ、隣接5項間漸化式の活用も。）必須になりますね。
@@PC三太郎 様 助言ありがとうございます😃
なるほどぉ！
わー鮮やか。
かっけぇ
今日私立大学入試2日目です。
頑張ってきます！
頑張ってください。
ご武運を！
健闘を祈ります👍
これ、力づくで解こうとしたら詰む奴ですなぁｗ
ただ、これを一回解いて、α～γまで出しても正解にはたどり着けるっちゃあ辿り着けるのだろう…が。
しかし、それじゃあ手間暇かかって時間切れになるから、もっとエレガントに行きましょうと。
まさか漸化式と予想出来た受験生は殆どいなかったんじゃあなかろうか？
平方数を平方根と思い違いてしまいどうしようも無くなってましたおはようございます
(1)は与式をx⁴で割った「1/xの四次方程式」を考えれば「3次の項の係数」は11となり,さらに解は1/α,1/β,1/γ,1/δであることがわかるので解と係数との関係より全部足して-11
として解いてみました！
おはようございます。
①はα＋1／α＋β＋1／β＋γ＋1／γ＋δ＋1／δ＝α＋β＋γ＋δ＋1／α＋1／β＋1／γ＋1／δ ＝ー11＋1／α＋1／β＋1／γ＋1／δとして、計算が楽になりました。明日もよろしくお願いします。
おはようございます。
漸化式は、（逐次的に処理する）ノイマン型コンピュータと相性がよさそうですね。
むしろ、複数の処理を一度にしてしまう量子型とはどうなのかしら？
コンセプトが合わないような気がしますが、…。
まあ、4解がα,1/α,β,1/βの形になるから、出題者の意図にのっても悪かない。
これ本番で最後一応誘導に乗ってやったけどルート残って出来なかった、後でやった綺麗に出たけど…こりゃ落ちたな
さすがに五項間漸化式は、思いつかなかったなぁ。基本的には五項間漸化式と同じ考え方ですが、toru toruさんの別解が、すっきりしていて、個人的にはお気に入りです。皆さん独自の方法があり、勉強になります。y=x+1/xと置く誘導がむしろ邪魔で、無意味にさえ思えます。出題者さん、ゴメンナサイ。
動画でも y=x+1/x は利用してないですね
おはようございます。寒さにも負けず、頭も鍛えます。ありがとうございます。
もう東医の受験か、すげえなこれ
nの部分、マイナスもいいのか。
勉強になりました。
************************************
※当初は直観的に下記のように考えたのですが、振り返ってみると特に冒頭段落の議論が不十分であるように思われます。
（例えば４解がα, α, α, 1/αである可能性を排除していない。）
この方針のままで加筆修正すると、当初の想定よりも議論がかなり長ったらしくなりそうなので、
第１、第２段落辺りをまとめた＜修正解＞を、返信欄に別途コメントしておきました。
以上を念頭において、下記＜別解＞をご覧下さい。
************************************
＜別解＞：明らかにx=0, ±1は解ではないことに注意して、
x^4 + 11x^3 + 31x^2 + 11x + 1 =0 …★
⇔ (1/x)^4+ 11(1/x)^3 + 31(1/x)^2 + 11(1/x) + 1 =0
（※両辺をx^4≠0で割り、項順を逆にした）
であるから、x=t が与方程式を満たせば x=1/t も与方程式を満たして t≠1/t が従う。よって４解は
α, 1/α, β, 1/β
と置ける。
またx≠0により
★⇔ x^2 + 11x + 31 + 11/x + 1/x^2 =0
⇔ (x + 1/x)^2 + 11(x + 1/x) + 29 =0
であるから、α + 1/α, β + 1/β は y^2+11y+29=0の２解。よって解と係数の関係により
α + 1/α + β + 1/β = -11 …①■
かつ
(α + 1/α)(β + 1/β)=29。
ゆえに、
α^2 + (1/α)^2 + β^2 + (1/β)^2
=(α + 1/α)^2 + (β + 1/β)^2 - 4
=(α + 1/α + β + 1/β)^2 - 2(α + 1/α)(β + 1/β) - 4
=121-58-4 = 59 …②。■
また、
α^3 + (1/α)^3 + β^3 + (1/β)^3
=(α + 1/α)^3 + (β + 1/β)^3 - 3(α + 1/α) - 3(β + 1/β)
=(α + 1/α + β + 1/β)^3 - 3(α + 1/α)(β + 1/β)(α + 1/α + β + 1/β) - 3(α + 1/α + β + 1/β)
= -11^3 + 3*11*29 + 3*11
= -11(121-87-3)= -11*31 = -341 …③。■
かっこいい！
＜修正解＞：明らかにx=0は解ではないことに注意して、
x^4 + 11x^3 + 31x^2 + 11x + 1 =0 …★
⇔ x^2 + 11x + 31 + 11/x + 1/x^2 =0
⇔ (x + 1/x)^2 + 11(x + 1/x) + 29 =0。
ゆえに、y^2+11y+29=0の２解をλ, μと置くとき、★の４解のうち２解は
x + 1/x = λ ⇔ x^2 - λx + 1 =0 … (1)
の２解であり、★の残りの２解は
x + 1/x = μ ⇔ x^2 - μx + 1 =0 ...(2)
の２解。（※判別式より明らかにλ≠μだが、仮にλ=μであったとしても何ら問題はない。）
ここで２次方程式(1)について、xを1/xで置き換えても不変（それぞれ同値式の左辺より明らか）だから、
「x=αが解ならば、x=1/αも解」
である。ところが、明らかにx=±1は★の解ではないから(1)の解でもなく、上記の αについてさらに α≠1/α が従う。
ゆえに(1)の２解をα, 1/α と置ける。
全く同様の議論が(2)についても成り立つから、結局★の４解は
α, 1/α, β, 1/β （※仮にα=βであったとしても何ら問題はない）
と置けて、α + 1/α, β + 1/β は y^2+11y+29=0の２解。よって解と係数の関係により
α + 1/α + β + 1/β = -11 …①■
かつ
(α + 1/α)(β + 1/β)=29。
ゆえに、
α^2 + (1/α)^2 + β^2 + (1/β)^2
=(α + 1/α)^2 + (β + 1/β)^2 - 4
=(α + 1/α + β + 1/β)^2 - 2(α + 1/α)(β + 1/β) - 4
=121-58-4 = 59 …②。■
また、
α^3 + (1/α)^3 + β^3 + (1/β)^3
=(α + 1/α)^3 + (β + 1/β)^3 - 3(α + 1/α) - 3(β + 1/β)
=(α + 1/α + β + 1/β)^3 - 3(α + 1/α)(β + 1/β)(α + 1/α + β + 1/β) - 3(α + 1/α + β + 1/β)
= -11^3 + 3*11*29 + 3*11
= -11(121-87-3)= -11*31 = -341 …③。■
いや、なるほど
(x＾2+ax+b)(x＾2+cx+d)とおいて進めました。
ただ整数とは限らないので厳密性にかけますけれど値を出すことはできました。
マイナスの方も考えていいのですね、勉強になりました。
意地でも正面突破(因数分解)を試みました。
なお
出題者の意図としては、yの二次方程式の解と係数の関係を使って欲しかったのでは？
そうすればα、βとγ、δの２組に分けて計算できるので、少なくとも３番はそうやった方が楽そうです。
y^2 + 11y + 29 = 0 の２解を y1, y2 とすれば、与方程式は (x^2 - y1x + 1) ( x^2 - y2x + 1) = 0 となって
α+β = y1, αβ = 1, γ+δ = y2, γδ = 1 として問題なく、２組それぞれをy1 とy2 の式で表してから
さらに y1 + y2 = -11 を使って計算します。
y^2 = -29 - 11y で次数下げもできるので、比較的簡単に出せます。（計算自体はめんどくさいです）
でも別解を考えるのも大事ですね。
後光がさす漸化式！？
私立医学部受けるんで嬉しいです。ありがとうございます
漸化式-1乗かー
立方はちょっと面倒ですが、解と係数の関係でいけるような。多分違う方法なのだろうな。動画で確認します。
立方は漸化式か。その発想はなかった。
問題はどこから入手しているのでしょうか？
これ本番では解と係数で瞬殺したけど色々考え方あるんだね
おはようございます。
立方和=
(w + x + y + z)³- 3(w x + w y + w z + x y + x z + y z) (w + x + y + z) + 3 (w x y + w x z + w y z + x y z)
はやりたくないですね。
x³+y³=(x + y)³-3 x y (x + y)から憶測し、斉次式になるには、あとk(xyz+yzw+...)の項が必要で係数比較からk=3と考えるか...
これちょっと時間かけすぎちゃったなあ
この問題解けなかった
一次落ち泣
ヨシッ❗
だけど、おぉ～❗
バカだから、愚直に与式を
(x^2－(－11+√5)x/2+1)･(x^2－(－11－√5)x/2+1)＝0
と変形し、
α+β＝(－11+√5)/2，αβ＝1
γ+δ＝(－11－√5)/2，γδ＝1
として計算しちゃったよ。
最初の因数分解が上手い！
昨日コレ見て、
ruclips.net/video/0awiaXuTlJI/видео.html
今日のコレだったので、貫太郎氏も他チューバ―の動向を見て類題を探しているのかと思った。
そうでもなかったみたいだけれど。
実は時間を浪費させるための
出題者の罠⁉︎w